\chapter{托马斯·杨1805年论文《论流体的凝聚力》的开创性贡献\\及其对表面科学的历史意义}
\author{李国斌}
\date{2025.08.30}

	
	
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\includegraphics[width=0.5\textwidth]{contact_angle}
		\caption{液滴接触角示意图}
		\label{fig}
	\end{figure}	
	
	\begin{tikzpicture}[
		scale=2.5,
		>=Stealth,
		vector/.style={->, very thick, black},
		interface/.style={thick, line cap=round},
		angle/.style={draw, ->, angle eccentricity=1.3, angle radius=0.8cm}
		]
		
		% 绘制固体表面
		\draw[fill=gray!25] (-1, 0) rectangle (2.5, -0.15);
		\node at (0.75, -0.3) {固体表面};
		
		% 绘制液滴轮廓
		\draw[fill=blue!15, draw=blue!50!black, very thick] (0,0) coordinate (O) 
		arc (180:0:1) 
		-- (0,0);
		\node at (1, 0.4) {液体};
		
		% 标注接触点
		\filldraw (O) circle (0.5pt) node[below left] {$O$};
		
		% ============= 绘制三个界面张力矢量 =============
		% 液-气界面张力 γ_lg
		\draw[vector, red] (O) -- ($(O) + (140:1.2)$) node[midway, above left] {$\gamma_{lg}$};
		\draw[dashed] ($(O) + (140:1.2)$) -- ($(O) + (140:1.6)$);
		
		% 固-液界面张力 γ_sl
		\draw[vector, blue] (O) -- ($(O) + (180:1.2)$) node[midway, below] {$\gamma_{sl}$};
		
		% 固-气界面张力 γ_sg
		\draw[vector, green!60!black] (O) -- ($(O) + (0:1.2)$) node[midway, below] {$\gamma_{sg}$};
		
		% ============= 绘制辅助线和角度标注 =============
		\draw[dashed, thick] (O) -- (0, 1.5) node[right] {法线};
		\draw[dashed, gray] ($(O) + (140:1.2)$) -- ($(O) + (0, {1.2*sin(140)})$);
		\draw[dashed, gray] (O) -- (0, {1.2*sin(140)});
		
		% 标注接触角 θ
		\pic [angle, "$\theta$"] {angle = 0:1:0:0:140:1};
		
		% ============= 核心推导步骤 =============
		% 使用节点放置推导过程
		\node at (3.2, 1.5) [anchor=north west, align=left, text width=7.5cm] {
			\textbf{杨氏方程 (Young's Equation) 推导}
			\vspace{0.5em}
			
			\textbf{1. 平衡条件：}\\
			在固-液-气三相接触点 $O$ 处，体系处于平衡状态。\\
			所有力在 \textbf{水平方向} 上的分量之和必须为零。
			\vspace{0.5em}
			
			\textbf{2. 受力分析：}\\
			\begin{tabular}{ll}
				$\gamma_{sg}$: & 向右，试图扩大固-气界面 \\
				$\gamma_{sl}$: & 向左，试图扩大固-液界面 \\
				$\gamma_{lg}$: & 沿液滴表面切线方向 \\
			\end{tabular}
			\vspace{0.5em}
			
			\textbf{3. 分解 $\gamma_{lg}$：}\\
			将 $\gamma_{lg}$ 分解为 \textbf{水平分量} 和 \textbf{垂直分量}：\\
			\hspace{2em} 水平分量： $\gamma_{lg} \cos\theta$ \\
			\hspace{2em} 垂直分量： $\gamma_{lg} \sin\theta$ \\
			\textit{(垂直分量由固体表面的约束反力平衡)}
			\vspace{0.5em}
			
			\textbf{4. 水平方向力平衡：}\\
			向右的力总和 = 向左的力总和 \\
			$\gamma_{sg} = \gamma_{sl} + \gamma_{lg} \cos\theta$
			\vspace{0.5em}
			
			\textbf{5. 整理得到杨氏方程：}\\
			$\gamma_{sg} - \gamma_{sl} = \gamma_{lg} \cos\theta$ \\
			$\cos\theta = \dfrac{\gamma_{sg} - \gamma_{sl}}{\gamma_{lg}}$
		};
		
		% ============= 添加图标题 =============
		\node at (1, -0.8) [align=center] {\textbf{杨氏接触角方程推导示意图}\\固-液-气三相接触点$O$处的界面张力平衡};
		
	\end{tikzpicture}
	
	
	\section{知乎上的一个推导}
	我将根据知乎文章内容为您转换为LaTeX论文格式，包含必要的数学公式和结构。以下是完整的.tex文件内容：
	

	\title{Young方程的变分推导}
	\author{物竞凉热帖}
	\date{2024年3月}
	
		
		\section{引言}
		我们知道形成液滴需要做功和吸热，在液体介质表面的液体层存在表面能。本文将通过变分法推导Young方程。
	
		\section{热力学基础}
		从热力学基本关系出发：
		
		\begin{equation}
			dU = \sigma dA + TdS
		\end{equation}
		
		自由能表达式为：
		
		\begin{equation}
			dF = \sigma dA - SdT
		\end{equation}
		
		考虑表面张力与温度的关系
		$\sigma = \sigma\(𝑇\)$，自由能可表示为：
		
		\begin{equation}
			F(A,T) = \sigma A + f(T)
		\end{equation}
		
		当A=0时膜不存在，故
		$f(T)|_{A=0}=f(T)=0$，最终得到：
		
		\begin{equation}
			F(A,T) = \sigma A
		\end{equation}
		
		\section{液膜形成过程}
		假设液膜形成是等温过程，平衡状态满足
		$\delta F=0$
		
		系统自由能包含三部分贡献：
		
		\begin{equation}
			F = \sigma_{lg}S_{\text{冠}} + \sigma_{ls}S_{\text{底}} + \sigma_{sg}(S_0 - S_{\text{底}})
		\end{equation}
		
		体积约束条件：
		
		\begin{equation}
			g = \frac{2\pi R^3}{3}(1-\cos\theta) - \frac{\pi R^3}{3}\sin^2\theta\cos\theta - V = 0
		\end{equation}
		
		将自由能表达式展开：
		
		\begin{equation}
			F = \sigma_{lg}\cdot 2\pi R^2(1-\cos\theta) + (\sigma_{ls} - \sigma_{sg})\cdot \pi R^2\sin^2\theta + \sigma_{sg}S_0
		\end{equation}
		
		\section{变分推导}
		对R和$\theta$进行变分：
		
		\begin{align}
			\partial_R F + \lambda \partial_R g &= 0 \\
			\partial_\theta F + \lambda \partial_\theta g &= 0
		\end{align}
		
		等价关系：
		
		\begin{equation}
			\frac{\partial_R F}{\partial_\theta F} = \frac{\partial_R g}{\partial_\theta g}
		\end{equation}
		
		经过计算得到Young方程：
		
		\begin{equation}
			\sigma_{lg}\cos\theta + (\sigma_{ls} - \sigma_{sg}) = 0
		\end{equation}
		
		\section{结论}
		通过变分法成功推导出描述液滴接触角的Young方程，为表面润湿现象提供了理论基础。
